벡터 필드의 벡터 v가 computational space에 정의되어 있다고 가정했을 때 유리한 점 (physical space와 비교하여)
Computational space는 기본적으로 Cartesian grid를 사용한다. Physical space는 가장 간단한 변환인 polar grid(극 좌표)부터 spherical coordinate(구면 좌표) curvilinear grid 등 어떤것이든(whatever) 될 수 있고 이것은 Cartesian grid보다 복잡하다.
i.e. Computational space를 base로 하면 상대적으로 이상한 physical space에 비해 간단한 cartesian grid를 사용하여 interpolate(보간)도 쉽게 할 수 있고, 점의 위치도 쉽게 결정 할 수 있다.
computational space에 있는 vector v와 Jacobian을 이용해서 physical space에 있는 vector u 계산하기
벡터 필드는 곡선 그리드에 극좌표로 표현되고 주어진 Φ는 coordinate function(c->p 변환 함수)이다. [A vector field is given on a curvilinear grid by polar coordinates with the coordinate function]
이 계산문제는 그닥 좋은 문제는 아니었다.
문제의 결과인 u는 cartesian grid가 된다. 즉 우리는 curvilinear한 C space에서 cartesian P space로 transfer 한 것이다. 그러나 C space는 보통 cartesian grid이므로 좀.. 이상한 문제가 된다.
핵심 개념은 rotation 파이와 Jacobian을 이용해서 r in c space -> p space , v in c space -> u in p space 하는 것이다.
물리적 추론은 computational space에서 해야 할까 physical space에서 해야할까?
[Should physical reasoning be done in computational space or physical space and why? ]
결론: physical space에서 해야한다.
이유: computational space는 physical space를 단지 추상화(abstraction), 단순화(simplification한 관점이기 때문에, 우리가 실제 공간을 단순화시키면 우리는 물리적 현상의 중요한 특징을 놓칠 수 있다.
Because computational space is just a term of abstraction and simplification of physical space, you might miss an important feature.
What are possible problems for r = 0?
r = 0 is (0, 0) in cartesian coordinate. But If you express r = 0 in polar coordinates, you get an infinite number of cases. (0, pi), (0, pi/2).. and so on. Therefore, we cannot know the direction of the vector.
Show whether ∇Φ can be inverted at (r = 0, φ = 0). What are possible implications if this is not the case?
∇Φ 는 Jacobian이다.
It is impossible for the denominator to be zero. (분모가 0이 되는 것은 불가능)
We can go to physical space by Jacobian but inverse Jacobian is impossible so we can't transfer to computational space. (P space로 갈 수 있지만 C space로 갈 수 없음)
The source of the problem is Professor Filip Sadlo in University of Heidelberg
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